普段使わないことは、すぐに忘れてしまうので、おさらいをしよう。
●16進数から10進数への変換
(2D.8)16
各桁の値に、桁の重みを乗じる。
2×161+13×160+8×16-1
=45.5
●2進数から10進数への変換
(10110110)2
2進数の各桁の重みを乗じる。
●10進数から2進数への変換
(23.625)10
計算による基数変換
23.625の中には、16が1つ取り出せるので、先頭は、1になり、残りは23.625-16=7.625となる。
次は、7.625は、8より小さいので、0になり、その次は、4が取り出せるので1となり、7.625-4=3.625。
この操作を残りが0になるまで繰り返すと、10111.101となる。
(23)10
2で割り、商と余りを求めことを繰り返す。
23÷2=11 ...1
11÷2= 5 ...1
5÷2= 2 ...1
2÷2= 1 ...0
最後の商と余りを(逆さまに)並べる。
10111
(0.625)10
2を掛け、積の小数部分に、また2を掛けることを0になるまで繰り返す。
0.625×2=1.25
0.25 ×2=0.5
0.5 ×2=1.0
0.の後に積を(上から)並べる。
0.101
●2進数と16進数の変換
(11000011.0100)2
なので、C3.4
負数の表現
補数には、「基数の補数」と「基数 -1の補数」があり、基数の補数が負の数として扱える。
補数を使って負の値を表すときは、表現できる値の範囲が狭まる。
●n進数のnの補数の求め方
(36)10の補数64を求めるには、
(0011)2の2の補数を求めるには、
数値の表現範囲
1バイト(8bit)では、0000 0000 〜 1111 1111までの256種類。
負の値を2の補数表示で表した場合、-128〜127までの値を表現できることになる。
●10進表示の桁数Dと2進表示の桁数Bの関係
「100000の対数」を log10100000 と表記する。
log10100000=5
になる。
これは、「10を何乗したら、100000になるか」を表している。
105=100000だから、5である。
２を底とする対数
23=8 は、 log28=3 となる。
これは、「底2を何乗したら8になるか」を表す。
浮動小数点数
「仮数×基数桁数」で表す。
(例)(999)2は、
不動小数点表記を用いて3桁のうち2桁を仮数、1桁を指数とすれば、
最大で99×109の数値を表現できる。
指数を負数にすることで、小さな数も表現可能。
●不動小数点表記の正規化
有効桁数とは、信頼できる数値の桁数。
(例)
浮動小数点表記の表現として、有効桁数が多い方が望ましく、有効な数字の前のゼロは取り除き、有効桁数を増やす作業を正規化と呼ぶ。
小数点の位置を動かして、指数を変更する。
0.001×103を正規化すると、0.100×101
●浮動小数点数の表現形式
コンピュータによって異なる。
1. IEEE方式(標準)
イクセス表記とは、本来8ビットで表現できる値(0〜255)に対し、元の値に127を加算することで、-127〜128までの表現を可能としている。
仮数部が1.Mの形式なのは、仮数部の桁数を拡大するため。
正規化して、0.1xxx...となった場合、仮数部の先頭ビットは、1となる。
1.xxx...とすることによって、整数部の1を仮数部から省いている。
このため、仮数部で表現できる桁数が1桁増えている。
(例)(28)10の場合
仮数部を2進数にする ： (28)10 → (111000)2
仮数部の正規化 ： (111000)2×20 → (1.1100)2×24
指数部をイクセス表記に ： 24 → 2131
2. 試験によく出る方式
試験によく出題される方式では、指数部は、イクセス表記ではなく、2の補数表示を使用している。
基数が16進数のため、仮数も16進数で考える。
仮数部の1の前に0があっても、正規化のために1の前の0はとらない。
(例)(28)10を浮動小数点数で表す。
仮数部を16進数に ... (28)10 → (1C)16
仮数部の正規化 ... (1C)16×160 → (0.1C)16×162
指数部 ... 2
(例)実数aを a=f×reと表す浮動小数点表記
f ... 仮数
r ... 基数
e ... 指数
●誤差
１．丸め誤差 ... 仮数部分の桁数に限度があることによって、最小桁より小さい部分について四捨五入や切り上げ、切捨てを行うために生ずる誤差のこと。
２．情報落ち ... 絶対値が大きい値に対し、極端に小さい値を加減算すると、小さい方の値が計算結果から欠落すること。絶対値の小さい方から順に加算することで回避することができる。
(例)0.100×104に0.100×101を加算する。
0.100×104+0.100×101
=0.100×104+0.0001×104
=0.100×104+0.000×104
=0.100×104
となり、0.100×101の情報がアンダフローにより失われる。
数多くの数値の加算を行うなら、絶対値の小さなものから計算すると、値が大きくなり、指数部の値が大きくなれば、情報落ちを防ぐことができる。
３．桁落ち ... 絶対値の差が小さい値同士の減算において、演算結果の有効桁数が少なくなる誤差のこと。
４．打ち切り誤差 ... 循環小数などの計算を、途中で打ち切ったために発生する誤差。
＊循環小数とは、n進数における小数点以下の表記が次のようになる形式。
0.a1a2...an{b1b2...bm}
循環小数は分数で表せる。
1/3＝0.333333333333・・・・・
1/7=0.142857142857142857・・・・
■様々なデータ表現
●2進化10進数
金額や数量を表す際に10進数を2進数に基数変換しないで、10進数1桁をそのまま2進数に変換して取り扱う方法。
BCD(Binary Coded Decimals)コードは、4桁の2進数で10進数の1桁を表す。
BCDコードは、符号の概念がない。
符号の概念を持つ2進化10進数に、ゾーン10進数とパック10進数がある。
ゾーン10進数 ... 1桁を8ビットで表し、上位4ビットをゾーン部と呼ぶ。数値は下位4ビットに格納される。
最後の1桁のゾーン部が符号を表す。
パック10進数 ... 1桁の数字を4ビットで表し、最下位の4ビットで符号を表す。
(例) (102)10の場合
(例)6桁の符号付き10進数をパック10進表記法で表すのに必要なバイト数は？
1桁を4ビットで表すので、
6桁 × 4ビット + 符号ビット(4ビット) = 28ビット
28ビットを格納するために必要なバイト数は、
28ビット ÷ 8ビット ＝ 3.5 ≒ 4バイト
●文字の表現
[JISコード] 日本工業規格で、規格化された8ビットの文字コード体系。256種類が定められている。16ビットのJIS漢字コードというのもある。
[シフトJISコード] JISコードをベースにした文字コード体系で、16ビットの漢字コードのデータと8ビットのコードが混在している場合でも識別できるようにした。
SI(シフトイン)、SO(シフトアウト)という特別コードを使って、16ビットの漢字コードの始まりと終わりを示しており、漢字コードの上位8ビットを8ビットコードと干渉しない領域に割り当てることで、SI及びSOなしに8ビットコードと16ビットコードを識別できるようにしている。
[ASCIIコード] ANSI(米国規格協会)で規格化された文字コード体系で、基本は7ビットだが、拡張版では8ビットとなっている。
JISコードのベースとなった。
[EBCDIC(Extended BCD Interchange Code] IBM作成のメインフレーム(汎用コンピュータ)向けの文字コード体系。
本来は、各メーカーが拡張して日本語を使えるようにしている。
[EUC(Extended Unix Code)] 主にUNIXで利用されている文字コード体系で、拡張UNIXコードとも言う。
[Unicode] ISO(国際標準化機構)で標準化された、世界の多くの文字を表現するための」16ビット文字コード体系。
●まとめ
(例) (0.6875)10を2進数で表したら？
0.6875 × 2 ＝ 1.375 ... 1 ↓
0.375 × 2 ＝ 0.75 ... 0
0.75 × 2 ＝ 1.5 ... 1
0.5 × 2 ＝ 1.0 ... 1
(0.1011)2
(例)
(例) (0.11101)2を10進数に変換するには？
(0.11101)2 × 23 = (111.01)0 × 20
(111.01)0 = (7.25)10
(例) 2の補数(1111110)2を元の値に戻すには？
2の補数を取る作業と同じ手順
1111110 → 0000001 → 0000010 = (2)10
(例) (0.0011)2 × 2-2の仮数部を3にするには？
(0.0011)2 × 2-2 = (11)2 × 2-6 = 3 × 2-6
(例)3 × 2-6を正規化(仮数部最上桁が1となるように)するには？
3 × 2-6 = (11)2 × 2-6 = (0.11)2 × 2-4
数値は、プラスなので、符号部は0。
指数部は、-4なので、2の補数にすると、
4 = (0000100)2 → 1111100
仮数部は、0.11なので、先頭から、1100 そして残りは全て 0で埋める。
●16進数から10進数への変換
(2D.8)16
各桁の値に、桁の重みを乗じる。
2×161+13×160+8×16-1
=45.5
●2進数から10進数への変換
(10110110)2
2進数の各桁の重みを乗じる。
| 10桁目 | 9桁目 | 8桁目 | 7桁目 | 6桁目 | 5桁目 | 4桁目 | 3桁目 | 2桁目 | 1桁目 | 桁位置 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 29 | 28 | 27 | 26 | 25 | 24 | 23 | 22 | 21 | 20 | 桁の重み |
| 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 10進数の値 |
●10進数から2進数への変換
(23.625)10
計算による基数変換
| □ | □ | □ | □ | □ | . | □ | □ | □ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0.5 | 0.25 | 0.125 |
23.625の中には、16が1つ取り出せるので、先頭は、1になり、残りは23.625-16=7.625となる。
次は、7.625は、8より小さいので、0になり、その次は、4が取り出せるので1となり、7.625-4=3.625。
この操作を残りが0になるまで繰り返すと、10111.101となる。
(23)10
2で割り、商と余りを求めことを繰り返す。
23÷2=11 ...1
11÷2= 5 ...1
5÷2= 2 ...1
2÷2= 1 ...0
最後の商と余りを(逆さまに)並べる。
10111
(0.625)10
2を掛け、積の小数部分に、また2を掛けることを0になるまで繰り返す。
0.625×2=1.25
0.25 ×2=0.5
0.5 ×2=1.0
0.の後に積を(上から)並べる。
0.101
●2進数と16進数の変換
(11000011.0100)2
| 1100 | 0011 | . | 0100 |
|---|---|---|---|
| C | 3 | . | 4 |
なので、C3.4
負数の表現
補数には、「基数の補数」と「基数 -1の補数」があり、基数の補数が負の数として扱える。
補数を使って負の値を表すときは、表現できる値の範囲が狭まる。
| 正の数のみ | 0〜99 |
| 補数使用 | 正の数(0〜49)、負の数(-1〜-50) |
●n進数のnの補数の求め方
(36)10の補数64を求めるには、
| 99 | ||
| 99-36=63 | ... | 9の補数 |
| 63+1=64 | ... | 10の補数 |
(0011)2の2の補数を求めるには、
| 1010 を全部反転して、0101 | ... | 1の補数 |
| 0101 + 1 = 0110 1を足す | ... | 2の補数 |
数値の表現範囲
1バイト(8bit)では、0000 0000 〜 1111 1111までの256種類。
負の値を2の補数表示で表した場合、-128〜127までの値を表現できることになる。
| ・正の数だけの場合 | ... | 0〜2n-1 |
|---|---|---|
| ・負数に2の補数表現を使った場合 | ... | -2n-1〜2n-1-1 |
| 表示(2進数) | 表示(16進数) | 値(10進数) |
|---|---|---|
| 0111 1111 | 7F | 127 (MAX) |
| 0000 0001 | 01 | 1 |
| 0000 0000 | 00 | .0 |
| 1111 1111 | FF | -1 |
| 1000 0000 | 80 | -128 (MIN) |
●10進表示の桁数Dと2進表示の桁数Bの関係
ある桁数の表現可能な最大値は「基数桁数-1」で求めることができる。 凡その計算でよいので、「基数桁数」としておく。 |
10進数の表現可能な桁数xと2進数の表現可能な桁数yは、 10x = 2y が成り立つ。 |
| 2y=log1010x |
| そして、 |
10x=log102y なので |
log1010x=log102y |
(log1010は、1なので) |
x=ylog102 |
D≒Blog102 |
| logaxn = nlogax |
「100000の対数」を log10100000 と表記する。
log10100000=5
になる。
これは、「10を何乗したら、100000になるか」を表している。
105=100000だから、5である。
２を底とする対数
23=8 は、 log28=3 となる。
これは、「底2を何乗したら8になるか」を表す。
浮動小数点数
「仮数×基数桁数」で表す。
(例)(999)2は、
不動小数点表記を用いて3桁のうち2桁を仮数、1桁を指数とすれば、
最大で99×109の数値を表現できる。
指数を負数にすることで、小さな数も表現可能。
●不動小数点表記の正規化
有効桁数とは、信頼できる数値の桁数。
(例)
| 0.001×103 | 有効桁数は1 |
| 0.100×101 | 有効桁数は3 |
浮動小数点表記の表現として、有効桁数が多い方が望ましく、有効な数字の前のゼロは取り除き、有効桁数を増やす作業を正規化と呼ぶ。
小数点の位置を動かして、指数を変更する。
0.001×103を正規化すると、0.100×101
●浮動小数点数の表現形式
コンピュータによって異なる。
1. IEEE方式(標準)
| 1ビット | 8ビット | 23ビット |
|---|---|---|
| S | E | M |
S：仮数部の符号(0が正、1が負) E：指数部(イクセス表記であり、実際の値は127を引いた値) M：仮数部(1.Mの形式に正規化されている) 基数：2 式：(-1)s×2E-127×(1+M) | ||
イクセス表記とは、本来8ビットで表現できる値(0〜255)に対し、元の値に127を加算することで、-127〜128までの表現を可能としている。
仮数部が1.Mの形式なのは、仮数部の桁数を拡大するため。
正規化して、0.1xxx...となった場合、仮数部の先頭ビットは、1となる。
1.xxx...とすることによって、整数部の1を仮数部から省いている。
このため、仮数部で表現できる桁数が1桁増えている。
(例)(28)10の場合
仮数部を2進数にする ： (28)10 → (111000)2
仮数部の正規化 ： (111000)2×20 → (1.1100)2×24
指数部をイクセス表記に ： 24 → 2131
| S | E | M |
|---|---|---|
| 0 | 1000011 | 1100 0000 0000 0000 0000 0000 |
2. 試験によく出る方式
| 1ビット | 7ビット | 24ビット |
|---|---|---|
| S | E | M |
S：仮数部の符号(0が正、1が負) E：指数部(2の補数表示) M：仮数部(0.M) 基数：16 式：(-1)s×16E×(M) | ||
試験によく出題される方式では、指数部は、イクセス表記ではなく、2の補数表示を使用している。
基数が16進数のため、仮数も16進数で考える。
仮数部の1の前に0があっても、正規化のために1の前の0はとらない。
(例)(28)10を浮動小数点数で表す。
仮数部を16進数に ... (28)10 → (1C)16
仮数部の正規化 ... (1C)16×160 → (0.1C)16×162
指数部 ... 2
| S | E | M |
|---|---|---|
| 0 | 0000010 | 0001 1100 0000 0000 0000 0000 |
(例)実数aを a=f×reと表す浮動小数点表記
f ... 仮数
r ... 基数
e ... 指数
●誤差
１．丸め誤差 ... 仮数部分の桁数に限度があることによって、最小桁より小さい部分について四捨五入や切り上げ、切捨てを行うために生ずる誤差のこと。
２．情報落ち ... 絶対値が大きい値に対し、極端に小さい値を加減算すると、小さい方の値が計算結果から欠落すること。絶対値の小さい方から順に加算することで回避することができる。
(例)0.100×104に0.100×101を加算する。
0.100×104+0.100×101
=0.100×104+0.0001×104
=0.100×104+0.000×104
=0.100×104
となり、0.100×101の情報がアンダフローにより失われる。
数多くの数値の加算を行うなら、絶対値の小さなものから計算すると、値が大きくなり、指数部の値が大きくなれば、情報落ちを防ぐことができる。
３．桁落ち ... 絶対値の差が小さい値同士の減算において、演算結果の有効桁数が少なくなる誤差のこと。
４．打ち切り誤差 ... 循環小数などの計算を、途中で打ち切ったために発生する誤差。
＊循環小数とは、n進数における小数点以下の表記が次のようになる形式。
0.a1a2...an{b1b2...bm}
循環小数は分数で表せる。
1/3＝0.333333333333・・・・・
1/7=0.142857142857142857・・・・
■様々なデータ表現
●2進化10進数
金額や数量を表す際に10進数を2進数に基数変換しないで、10進数1桁をそのまま2進数に変換して取り扱う方法。
BCD(Binary Coded Decimals)コードは、4桁の2進数で10進数の1桁を表す。
BCDコードは、符号の概念がない。
符号の概念を持つ2進化10進数に、ゾーン10進数とパック10進数がある。
ゾーン10進数 ... 1桁を8ビットで表し、上位4ビットをゾーン部と呼ぶ。数値は下位4ビットに格納される。
最後の1桁のゾーン部が符号を表す。
パック10進数 ... 1桁の数字を4ビットで表し、最下位の4ビットで符号を表す。
(例) (102)10の場合
| 1111 | 0001 | 1111 | 0000 | 1100 | 0010 |
|---|---|---|---|---|---|
| ゾーン部 | 1 | ゾーン部 | 0 | 符号部 | 2 |
| 0001 | 0000 | 0010 | 1100 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 2 | 符号部 |
(例)6桁の符号付き10進数をパック10進表記法で表すのに必要なバイト数は？
1桁を4ビットで表すので、
6桁 × 4ビット + 符号ビット(4ビット) = 28ビット
28ビットを格納するために必要なバイト数は、
28ビット ÷ 8ビット ＝ 3.5 ≒ 4バイト
●文字の表現
[JISコード] 日本工業規格で、規格化された8ビットの文字コード体系。256種類が定められている。16ビットのJIS漢字コードというのもある。
[シフトJISコード] JISコードをベースにした文字コード体系で、16ビットの漢字コードのデータと8ビットのコードが混在している場合でも識別できるようにした。
SI(シフトイン)、SO(シフトアウト)という特別コードを使って、16ビットの漢字コードの始まりと終わりを示しており、漢字コードの上位8ビットを8ビットコードと干渉しない領域に割り当てることで、SI及びSOなしに8ビットコードと16ビットコードを識別できるようにしている。
[ASCIIコード] ANSI(米国規格協会)で規格化された文字コード体系で、基本は7ビットだが、拡張版では8ビットとなっている。
JISコードのベースとなった。
[EBCDIC(Extended BCD Interchange Code] IBM作成のメインフレーム(汎用コンピュータ)向けの文字コード体系。
本来は、各メーカーが拡張して日本語を使えるようにしている。
[EUC(Extended Unix Code)] 主にUNIXで利用されている文字コード体系で、拡張UNIXコードとも言う。
[Unicode] ISO(国際標準化機構)で標準化された、世界の多くの文字を表現するための」16ビット文字コード体系。
●まとめ
(例) (0.6875)10を2進数で表したら？
0.6875 × 2 ＝ 1.375 ... 1 ↓
0.375 × 2 ＝ 0.75 ... 0
0.75 × 2 ＝ 1.5 ... 1
0.5 × 2 ＝ 1.0 ... 1
(0.1011)2
(例)
(例) (0.11101)2を10進数に変換するには？
(0.11101)2 × 23 = (111.01)0 × 20
(111.01)0 = (7.25)10
(例) 2の補数(1111110)2を元の値に戻すには？
2の補数を取る作業と同じ手順
1111110 → 0000001 → 0000010 = (2)10
(例) (0.0011)2 × 2-2の仮数部を3にするには？
(0.0011)2 × 2-2 = (11)2 × 2-6 = 3 × 2-6
(例)3 × 2-6を正規化(仮数部最上桁が1となるように)するには？
3 × 2-6 = (11)2 × 2-6 = (0.11)2 × 2-4
数値は、プラスなので、符号部は0。
指数部は、-4なので、2の補数にすると、
4 = (0000100)2 → 1111100
仮数部は、0.11なので、先頭から、1100 そして残りは全て 0で埋める。
| 符号部 | 指数部 | 仮数部 |
|---|---|---|
| 0 | 11111000 | 1100 | 0000 | 0000 | 00 ... 00 |
