2国の | Ａ国 | ||
|---|---|---|---|
| 協力 | 非協力 | ||
| Ｂ 国 | 協力 | (3,3) | (-10,6) |
| 非協力 | (6,-10) | (-5,-5) | |
無限回繰返しゲームの利得計算
「無限等比級数の和」 ａ＋ａＤ＋ａＤ2＋・・・＝ａ÷（1−Ｄ）
（Ｄは割引率）
双方が協力し続けた場合、3の利益が続くが、２回目以降を現在価値に直すと、3D2、3D3・・・となり、その無限級数の和は 3/(1-D)となる。
また、１回目でＡ国が非協力、Ｂ国が協力、２回目以降は両国とも「非協力」を選び続ける場合のＡ国の利得は、
６−５Ｄ−５Ｄ2−５Ｄ3・・・＝６＋{(−５Ｄ)/(１−Ｄ)}＝６−{５Ｄ/(１−Ｄ)}
割引率Ｄが低いと一回目に得る利得は大きいが、高いと一回目に利得を得ても、それ以降、非協力が選ばれ続けて損失となる。
トリガー
●トリガー戦略
相手が協力し続ける限り協力し、相手が一度でも非協力をとれば、それ以降は決して協力しない。
２国のジレンマも無限の繰返しゲームでは、トリガー戦略で(割引率が高ければ)両国が協力し続けるという結果になる。
お互いが「トリガー」を選ぶことはナッシュ均衡となり、協力が達成される。
罰則を加える第三者がいなくても、トリガーが罰則の代わりになる。
統計学では、過去のデータは未来に当てはまると考える。
ゲーム理論では、過去のデータは未来に当てはまらないと考える。
●支配戦略
相手の戦略に関わらず、自分に優位な戦略。
●ゲームの解
ゲームの結果のこと。
原則として、
(1)支配戦略を持つプレイヤーは、その戦略を選択する。
(2)すべてのプレイヤーに支配戦略があるときは、全てのプレイヤーがその支配戦略を選択した組合わせがそのゲームの解になる。
ゲーム理論は、同時ゲームと交互ゲームに分けられる。
同時ゲームとは、相手の行動を知らず、自分の行動を選択することで、交互ゲームとは、自分の前に行動した相手が、どのような行動をしたかが全て分かる。
A.同時ゲーム
三要素(プレイヤー、戦略、利得)を簡単に表現するには、利得行列を使う。
B.交互ゲーム
ゲームの木を使う。
ゲームの木は、点と枝で構成される。
(1)点：プレイヤーがプレイする場所を表す意思決定点、ゲームの結果と利得を示す終点がある。
(2)枝：「意思決定点」から、各プレイヤーの選択肢毎に伸び、次の「意思決定点」や「終点」を示す矢印。
相互ゲームでは、まず、後手の立場で考える。
次に、先手の立場で考える。
先手の場合は、自分の選択に対して、その後に後手がどう行動するか先読みする必要がある。
先読みのテクニックには、バックワードインダクションがある。
バックワードインダクションの手順は、
(1)ゲームが終わる直前の意思決定点を考え、そのプレイヤーの最適選択を求める。
(2)次に、最適な選択を求めたプレイヤーの直前に繋がる意思決定点を考え、そのプレイヤーの最適な選択を求める。
(3)(2)を全てのプレイヤーの選択が決まるまで繰り返す。
相互ゲームの解はナッシュ均衡の一つとなる。
●有限の繰り返しゲーム
バックワード・インダクション(交互ゲームの解放テクニック)で考える限り、「全ての回で、お互いが協力しない」という結果となり、囚人のジレンマは解決しない。
(1)ゲームが終わる直前の意思決定点を考え、そのプレイヤーの最適な選択を求める。
(2)さらに、その直前に繋がる意思決定点を求める。
(3)(2)を全てのプレイヤーの選択が決まるまで繰り返す。
ゲーム理論では、過去のデータは未来に当てはまらないと考える。
●支配戦略
相手の戦略に関わらず、自分に優位な戦略。
●ゲームの解
ゲームの結果のこと。
原則として、
(1)支配戦略を持つプレイヤーは、その戦略を選択する。
(2)すべてのプレイヤーに支配戦略があるときは、全てのプレイヤーがその支配戦略を選択した組合わせがそのゲームの解になる。
ゲーム理論は、同時ゲームと交互ゲームに分けられる。
同時ゲームとは、相手の行動を知らず、自分の行動を選択することで、交互ゲームとは、自分の前に行動した相手が、どのような行動をしたかが全て分かる。
A.同時ゲーム
三要素(プレイヤー、戦略、利得)を簡単に表現するには、利得行列を使う。
B.交互ゲーム
ゲームの木を使う。
ゲームの木は、点と枝で構成される。
(1)点：プレイヤーがプレイする場所を表す意思決定点、ゲームの結果と利得を示す終点がある。
(2)枝：「意思決定点」から、各プレイヤーの選択肢毎に伸び、次の「意思決定点」や「終点」を示す矢印。
相互ゲームでは、まず、後手の立場で考える。
次に、先手の立場で考える。
先手の場合は、自分の選択に対して、その後に後手がどう行動するか先読みする必要がある。
先読みのテクニックには、バックワードインダクションがある。
バックワードインダクションの手順は、
(1)ゲームが終わる直前の意思決定点を考え、そのプレイヤーの最適選択を求める。
(2)次に、最適な選択を求めたプレイヤーの直前に繋がる意思決定点を考え、そのプレイヤーの最適な選択を求める。
(3)(2)を全てのプレイヤーの選択が決まるまで繰り返す。
相互ゲームの解はナッシュ均衡の一つとなる。
●有限の繰り返しゲーム
バックワード・インダクション(交互ゲームの解放テクニック)で考える限り、「全ての回で、お互いが協力しない」という結果となり、囚人のジレンマは解決しない。
(1)ゲームが終わる直前の意思決定点を考え、そのプレイヤーの最適な選択を求める。
(2)さらに、その直前に繋がる意思決定点を求める。
(3)(2)を全てのプレイヤーの選択が決まるまで繰り返す。
オークションは、評価額が一番高い者に財を売ることを保障する。
また、総余剰を最大にする。
●総余剰
売主の評価額が1,500万円、買い手の評価額が1,700万円とする。
土地が1,600万円で売買された場合、売主の余剰100万円と買い手の余剰100万円を足して200万円が総余剰となる。
●オークションの種類
��.公開オークション
a.競り(イングリッシュ・オークション) ... 価格が競り上がっていく
b.ダッチオークション ... 価格が下降する
��.封印入札
封印入札は、同時ゲームとして表現可能。
「劣位な戦略の繰り返しの削除」という考え方でゲームの解を求めると、「ナッシュ均衡」になる。
ある戦略が他のプレイヤーの全ての戦略に対して、もう一つの戦略より「同じ」か「悪い」利得を与える場合、その戦略は「劣位な戦略」と呼ばれる。
「ナッシュ均衡」とは、お互いに最良となるような戦略の組み合わせのこと。
封印入札のゲームの解は「一番評価額の高い者に財が渡り、落札価格は二番目に高い評価額となる」という結果になる。
これは、競とほぼ同じ結果となる。
a.競争入札(ファースト・プライス・オークション) ... 最高額入札者に、その価格で売る。
b.セカンド・プライス・オークション ... 最高入札者に2番目に高い価格で売る
●インターネット・オークション
代表格のYahoo!オークションは、自動入札方式だ。
落札時、価格はそれまでの入札の中で2番目に高い価格となる。
新入札がそれまでの最高入札額と同額の場合、先の入札者が最高額入札者となり、現在の価格はその最高額となる。
また、総余剰を最大にする。
●総余剰
売主の評価額が1,500万円、買い手の評価額が1,700万円とする。
土地が1,600万円で売買された場合、売主の余剰100万円と買い手の余剰100万円を足して200万円が総余剰となる。
●オークションの種類
��.公開オークション
a.競り(イングリッシュ・オークション) ... 価格が競り上がっていく
b.ダッチオークション ... 価格が下降する
��.封印入札
封印入札は、同時ゲームとして表現可能。
「劣位な戦略の繰り返しの削除」という考え方でゲームの解を求めると、「ナッシュ均衡」になる。
ある戦略が他のプレイヤーの全ての戦略に対して、もう一つの戦略より「同じ」か「悪い」利得を与える場合、その戦略は「劣位な戦略」と呼ばれる。
「ナッシュ均衡」とは、お互いに最良となるような戦略の組み合わせのこと。
封印入札のゲームの解は「一番評価額の高い者に財が渡り、落札価格は二番目に高い評価額となる」という結果になる。
これは、競とほぼ同じ結果となる。
a.競争入札(ファースト・プライス・オークション) ... 最高額入札者に、その価格で売る。
b.セカンド・プライス・オークション ... 最高入札者に2番目に高い価格で売る
●インターネット・オークション
代表格のYahoo!オークションは、自動入札方式だ。
落札時、価格はそれまでの入札の中で2番目に高い価格となる。
新入札がそれまでの最高入札額と同額の場合、先の入札者が最高額入札者となり、現在の価格はその最高額となる。
| (1)売主が開始価格15,000円でオークション開始 | 現在の価格：15,000円 最高額入札者：まだ入札されていない |
| (2)X氏が17,000円を入札 → 15,000円が、現在の価格となる (入札単位は100円とする) | 現在の価格：15,000円 最高額入札者：X氏 |
| (3)R氏が、これを見て15,500円を入札 → 自動的に新入札額の1単位上に現在の価格が更新される (落札権は、まだX氏) | 現在の価格：15,600円 最高額入札者：X氏 |
| (4)A子さんが19,000円を入札 →最高額入札者はA子さんに。価格はそれまでの最高入札額の1単位上に更新される。 | 現在の価格：17,100円 最高額入札者：A子さん |
例えば、J国とR国とで、海洋汚染問題を解決するために、浄化の費用を負担するものとする。
J国の立場で考えると、R国が協力するならば、J国も協力するとしたら利得は3億円。
それよりも、J国は協力しないとすると6億円の利得がある。
もし、R国が協力しないとすると、J国の利得は-10億円なので、J国は協力しないことで、利得は-5億円となる。
従って、J国の絶対優位な支配戦略は「協力しない」となる。
R国の立場に立っても同様。
ところが、ルールを変えたなら、別のゲームに変わる。
例えば、「非協力的行為に対し、9億円を相手に払う」という罰則を設けるとする。
一方が協力し、もう一方が協力しない場合(他の場合は同じ)、
協力した国は、 -10+9=1
協力しない国は、 6-9=-3
となる。
ただし、監視コストが高い、有効な罰則や制裁がない場合は、解決不可能。
| R 国 | |||
|---|---|---|---|
| 協力する | 協力しない | ||
| J 国 | 協力する | (3, 3) | (-10, 6) |
| 協力しない | (6, -10) | (-5, -5) | |
J国の立場で考えると、R国が協力するならば、J国も協力するとしたら利得は3億円。
それよりも、J国は協力しないとすると6億円の利得がある。
もし、R国が協力しないとすると、J国の利得は-10億円なので、J国は協力しないことで、利得は-5億円となる。
従って、J国の絶対優位な支配戦略は「協力しない」となる。
R国の立場に立っても同様。
ところが、ルールを変えたなら、別のゲームに変わる。
例えば、「非協力的行為に対し、9億円を相手に払う」という罰則を設けるとする。
一方が協力し、もう一方が協力しない場合(他の場合は同じ)、
協力した国は、 -10+9=1
協力しない国は、 6-9=-3
となる。
| R 国 | |||
|---|---|---|---|
| 協力する | 協力しない | ||
| J 国 | 協力する | (3, 3) | (-1, 3) |
| 協力しない | (-3, -1) | (-5, -5) | |
ただし、監視コストが高い、有効な罰則や制裁がない場合は、解決不可能。
